ALJABAR LINEAR

DIAGONALISASI Masalah Diagonalisasi . Diberikan sebuah operator linier T : V → V pada sebuah ruang vector berdimensi berhingga, apakah terdapat sebuah basis untuk V terhadap mana matriks T diagonal?      Jika A adalah matriks untuk T : V→ V yang bertalian dengan beberapa basis sembarang, maka soal ini ekivalen dengan menanyakan apakah terdapat perubahan basis sehingga matriks baru untuk T diagonal. Menurut teorema 8 dalam bagian 5.5, matriks baru untuk T akan sama dengan P -1 AP dimana P adalah matriks transisi yang sesuai. Jadi, kita sampai kepada perumusan matriks berikut yang berbentuk masalah diagonalisasi. Bentuk matriks dari masalah diagonalisasi . Diketahui matriks kuadrat A, apakah terdapat matriks P yang dapat dibalik sehingga P -1 AP diagonal? Masalah ini menyarankan definisi – definisi berikut. Definisi.   Matriks kuadrat A dinamakan dapat didiagonalisasi ( diagonalizable) jika terdapat matriks P yang dapat dibalik sehingga P -...

Pengembangan beberapa sifat dasar transformasi linear . Teorema 1. Jika T:V            W adalah transformasi linear , maka : a)       T ( 0 ) = 0 b)       T ( - V ) = T (v) untuk semua v di V c)       T ( v – W ) =   T (v) – T (W) untuk semua v dan w di V Bukti , misalkan v adalah sebarang vektor di V . Karena 0v = 0 maka kita peroleh T(0) = T(0v) = 0T(v) =   0 Yang membuktikan (a) Juga T(-v) = T[(- 1)v] = (- 1) = T (v) –T(v) , yang   membuktikan   (b) . T (v –w ) =T(v + ( - 1) w)                        =T(v) + ( - 1) T(w)             =T(v) - T(w) Definisi . jika      T:V           W adalah ...

Misalkan V ruang vektor dan S={s 1 , s 2 , …., s n }. S disebut basis dari V bila memenuhi dua syarat, yaitu: S bebas linier S membangun V Basis dari suatu ruang vektor tidak harus tunggal tetapi bisa lebih dari satu. Ada dua macam basis yang kita kenal yaitu basis standar dan basis tidak standar.     PEMBAHASAN BASIS DAN DIMENSI   Basis : suatu ukuran tertentu yang menyatakan  komponen dari sebuah vector. Dimensi biasanya dihubungkan dengan ruang, misalnya garis adalah ruang dengan dimensi 1, bidang adalah uang dengan dimensi 2 dan seterusnya. Definisi basis secara umum adalah sebagai berikut : Jika V adalah ruang vektor dan S = { v 1 , v 2 , v 3 , ….., v n } adalah kumpulan vektor di dalam V , maka S disebut sebagai basis dari ruang vektor V jika 2 syarat berikut ini dipenuhi :         i.            S bebas linier;    ...

 KOMBINASI LINEAR Definisi Vektor V dikatakan merupakan kombinasi linier dari vektor – vektor v 1 , v 2 ,…,v n bila w bisa dinyatakan sebagai :                                 w = k 1 v 1 + k 2 v 2 + … + k n v n , dengan k 1 ,k 2 ,…,k n adalah skalar. TEOREMA Himpunan semua kombinasi linear dari sembarang himpunan vektor-vektor yang tidak kosong dari V adalah suatu ruang bagian dari V CONTOH SOAL KOMBINASI LINEAR Diketahui a = (1, 2), b = (-2, -3), dan c = (1, 3). Apakah c merupakan kombinasi linear dari a dan b? Jawab: Misalkan c merupakan kombinasi linear dari a dan b maka dapat ditentukan dengan c = k 1 a + k 2 b (1, 3) = k 1 (1, 2) + k 2 (-2, -3) (1, 3) = (1k 1 , 2k 1 ) + (-2k 2 , -3k 2 ) Maka dapat dinyatakan 1 = k 1 – 2k 2 dan 3 = 2k 1 – 3k 2 Sehingga diperoleh pengenyelesaian k 1 = 3 da...

Definisi Ruang Vektor ( Vector Space ) Anggap adalah sembarang himpunan tak kosong dari objek di mana operasi penjumlahan dan operasi perkalian skalar didefinisikan. Penjumlahan yang dimaksud adalah aturan yang menghubungkan setiap pasangan objek dengan suatu objek , yang disebut sebagai jumlah dari dan . Sedangkan perkalian skalar adalah aturan yang menghubungkan setiap skalar dan objek dengan objek . Jika 10 aksioma berikut terpenuhi oleh semua objek dan skalar dan , maka disebut sebagai ruang vektor dan semua objek di dalamnya disebut vektor .  Aksioma 1: Jika dan adalah objek dalam , maka juga berada dalam .  Catatan: Aksioma ini mungkin telah dipandang umum sebagai sifat ketertutupan operasi penjumlahan.  Aksioma 2: Catatan: Aksioma ini mungkin telah dipandang umum sebagai sifat komutatif penjumlahan.  Aksioma 3: Catatan: Aksioma ini mungkin telah dipandang umum sebagai sifat asosiatif penjumlahan.  Aksioma 4: Ada obj...